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2023-09-10 13:38一、电路拓扑图与电路图一样么？
电路拓扑又称电路的图，即电路结构，是对电路图进行再次抽象、仅由支路和结点构成的一个集合，它讨论的是电路的连接关系及其性质，即支路与结点的连接关系。
二、常见的网络拓扑结构有＿＿＿＿＿＿＿＿A、总线拓扑B、星形拓扑C、环形拓扑D、网络拓扑E、树形拓扑？
主要有星型结构、环型结构、总线结构、分布式结构、树型结构、网状结构、蜂窝状结构等。
三、请问学习拓扑学（点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑）要什么基础？
首先，如果你想做数理经济学或者金融工程研究，那么点集拓扑对于你理解数学分析及以后的高层次数学（如在前沿的高级宏观经济学研究中非常重要的泛函分析、金融工程中的随机微分方程理论）是大有裨益、甚至是必不可少的，因而点集拓扑学的功底是判断一个人数学素养的关键。点集拓扑都不知道的话，现代数学你会寸步难行。
在点集拓扑和实分析的基础上，可以学习初步的抽象动力系统，这个在一般均衡理论的研究中有用。
在点集拓扑和抽象代数的基础上，可以学习代数拓扑，在经济学中的运用，参见布劳威尔不动点定理。
博弈论中闻名遐迩的Kakutani不动点定理，还有高级微观经济学中的最大值定理，都是集值分析的主要结果。集值分析的基础是点集拓扑学。
最后，逼格噌噌噌的微分拓扑，其Morse理论的应用（我没用过反正），具体的记得范里安的《微观经济分析》中有提到，但我没有深入研究，只是十分粗浅的知道morse理论讲的是什么。现代一般均衡理论研究用到了微分拓扑的Poincare-Hpof定理。这是我在博士期间阅读国内外数理经济学文献中出现的最高深的数学定理，其数学理论参见《从微分观点看拓扑》，经济学应用参见肯尼斯-阿罗的《数理经济学手册》。还有比如，著名的Mas-Colell的《微观经济理论》中一般均衡的讨论，就使用了
Brouwer度
理论和微分拓扑的指数定理（index Theorem）
。可能国内读经济学的几乎
没人会教这个。参见下图。总之，拓扑学有没有用，还是取决于你的研究方向和方法。
其实现在啊，国外做经济学拓扑的，
不动点理论几乎已经被微分拓扑取代了
。四、拓扑理论？
拓扑学(topology)，是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。在拓扑学里，重要的拓扑性质包括连通性与紧致性。
拓扑英文名是Topology，直译是“地志学”，最早指研究地形、地貌相类似的有关学科。拓扑学是由几何学与集合论里发展出来的学科，研究空间、维度与变换等概念。这些词汇的来源可追溯至哥特佛莱德·莱布尼茨，他在17世纪提出“位置的几何学”（geometria situs）和“位相分析”（analysis situs）的说法。莱昂哈德·欧拉的柯尼斯堡七桥问题与欧拉示性数被认为是该领域最初的定理。
拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。
五、什么拓扑？
计算机网络的拓扑结构是引用拓扑学中研究与大小，形状无关的点，线关系的方法。把网络中的计算机和通信设备抽象为一个点，把传输介质抽象为一条线，由点和线组成的几何图形就是计算机网络的拓扑结构。网络的拓扑结构反映出网中个实体的结构关系，是建设计算机网络的第一步，是实现各种网络协议的基础，它对网络的性能，系统的可靠性与通信费用都有重大影响。 最基本的网络拓扑结构有：环形拓扑、星形拓扑、总线拓扑三个。
六、拓扑原理？
拓扑学(topology)，是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。在拓扑学里，重要的拓扑性质包括连通性与紧致性。
拓扑英文名是Topology，直译是“地志学”，最早指研究地形、地貌相类似的有关学科。拓扑学是由几何学与集合论里发展出来的学科，研究空间、维度与变换等概念。这些词汇的来源可追溯至哥特佛莱德·莱布尼茨，他在17世纪提出“位置的几何学”（geometria situs）和“位相分析”（analysis situs）的说法。莱昂哈德·欧拉的柯尼斯堡七桥问题与欧拉示性数被认为是该领域最初的定理
七、拓扑定理？
拓扑定理是：几何图形在连续变形下，有些性质会保持不变。拓扑学研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。
在拓扑学里，重要的拓扑性质包括连通性与紧致性。在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。
八、怎么理解拓扑和拓扑空间？
拓扑空间（topological space），赋予拓扑结构的集合。如果对一个非空集合X给予适当的结构，使之能引入微积分中的极限和连续的概念，这样的结构就称为拓扑，具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。引入拓扑结构的方法有多种，如邻域系、开集系、闭集系、闭包系、内部系等不同方法。
九、什么是物理拓扑和逻辑拓扑？
代数拓扑在物理中的应用一般都很浅，大多数情况只是使用到概念层面，很少用到代数拓扑深刻的定理。常见的概念有同伦群，同调群和上同调群。在场论中，这三个概念有各自常用的使用语境。
同伦群
：常见于刻画规范场位形的拓扑结构，最常见的就是刻画球面、环面或者欧几里得空间上的矢量丛的拓扑。比如涡旋、瞬子的等价类对应 和的矢量丛等价类，分别用 和来刻画。纤维丛的同伦恰当序列也常用于计算一些比较难算的同伦群，比如的高维同伦群。又如上规范反常的存在性可以归结为“无穷维规范变换群的基本群是否平凡”。同调群
：同调群用得相对较少，用的时候也通常只用来表征目标流形有多少洞，或者对某些几何对象进行分类讨论。有了洞，就可以讨论非平凡的拓扑荷（拓扑通量）。比如的，就可以讨论磁单极子的整数磁通量，或者电荷慈磁荷量子化。利用奇异同调群与 Cech 上同调的关系，还可以用奇异同调群、Cech 上同调来分类流形上的线丛，或者更复杂的 gerbe（高级线丛）。Gerbe 在物理中出现在一般的 2d有 H-flux 的非线性 Sigma 模型，target space 受超对称数量要求具有 Bi-hermitian 结构，从而 target space 上定义了一个 gerbe。在2维拓扑非线性 Sigma 模型中，A-twist 的 BPS 位形是世界面到目标流形的全纯映射。由于世界面可能是任意的黎曼曲面，比如球面，因此就有各种不同的拓扑不等价的映射。刻画这些拓扑不等价的映射，就用映射所属同调类。上同调群
：物理中用得最多的代数拓扑对象。1）规范场中，刻画相应矢量丛的拓扑通常是会用示性类，这些示性类都是空间流形上的上同调类。比如计算欧拉示性数用欧拉类，瞬子数用陈特性，涡旋数用第一陈类。2）2维拓扑 Sigma 模型中，B-twist 和 A-twist BPS 算符代数对应到目标流形的 de Rham 上同调，或者，超对称算符，,变成外微分算子，Dolbeault 算符，BPS 算符的关联函数变成目标流形上的量子 interseciton number。Mirror symmetry 则是联系 Mirror-对偶的 Calabi-Yau 目标流形对应的 A-twist 和 B-twist 模型，两个目标流形有对调的上同调群。3）许多时候物理问题需要研究某些算符的上同调群。最常见就是超对称量子力学中超对称算符的上同调群，这个上同调群的生成元与系统的基态（即的调和态）一一对应。算符的 Witten index 定义为复形的欧拉示性数，是超对称物理中比较重要的数。指标定理
：作为重要的计算工具，指标定理也出现在不少物理问题中（当然本质上都是数学家早就熟知的数学问题）。1）比如计算某些带拓扑荷的规范场位形的模空间，包括涡旋，瞬子，Seiberg-Witten 解，拓扑弦中黎曼曲面的复结构模空间维度；2）计算各类反常，比如手征反常，规范反常使用 Dirac 算子的指标；3）有时某些算符的指标直接就是计算目标，比如 Witten index 4）有时需要计算算符的superdeterminant，可以找与之交换的微分算符 ，并通过计算的（等变）指标来获得的波色、费米本征谱之间的不完全抵消关系，然后写下superdeterminant十、什么是拓扑关系？什么是拓扑结构？
拓扑关系（ topological relation），指满足拓扑几何学原理的各空间数据间的相互关系。即用结点、弧段和多边形所表示的实体之间的邻接、关联、包含和连通关系。
计算机网络拓扑结构是指网络中各个站点相互连接的形式，在局域网中明确一点讲就是文件服务器、工作站和电缆等的连接形式。现在最主要的拓扑结构有总线型拓扑、星形拓扑、环形拓扑、树形拓扑（由总线型演变而来）以及它们的混合型。
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