自由能发电机真能行吗？

一、自由能发电机真能行吗？

不可行。所谓自由能发电是没有任何实际意义的，是假的。

从理论上分析，自由能就是平时的空中的电磁能（电磁场），当这些（变化的）电磁场通过线圈时，确实会在线圈中产生感应电动势，就象收音机接收电台节目一样，但这个感应电动势是极其微小的，如果没有其他能量参与，仅凭这个感应电动势是根本不可能使有电阻的灯泡发光的（其他用电器也一样）。

二、自由能源发电机是真是假？

用1KW电机带动3KW发电机自运行发电，这是能够实现的，但需要改装，实现起来有一定难度。

三、5千瓦发电机自由能发电？

答:必须要有动力，风能，热能才能发电。

四、如何理解自由能？

1.认识自由能

1.1.自由能的由来

自由能是指在某一个热力学过程中，系统减少的内能中可以转化为对外做功的部分，它衡量的是：在一个特定的热力学过程中，系统可对外输出的“有用能量”。可分为亥姆霍兹自由能和吉布斯自由能

自由能是物理化学上讲的，我们首先要明确一点，自由能是自发过程的判据：一个过程的自由能降低就能自发进行；能自发进行的过程，其自由能必然降低。这就是热力学第二定律。

在讲到这两种自由能的区别和联系的之前，先要简单的回顾下热力学的三大定律，热力学研究的，处于一定已知宏观约束条件下大量粒子组成的客观实体，称为热力学体系，也称为系统。体系之外的个体称为环境，体系和环境之间有相互作用，如热源是与体系交换热量的环境，并保持体系与热源温度一致，它应该是物质的量及热容的无限大的客观实体。比如对于一个处于溶液环境下的靶酶分子和药物分子组成的复合物体系，可以把复合物看作体系，而把周围的溶液看成环境。

热力学第一定律：

物体（系统）内能的增加等于物体吸收的热量和对物体所作的功的总和。即热量可以从一个物体传递到另一个物体，也可以与机械能或其他能量互相转换，但是在转换过程中，能量的总值保持不变。其推广和本质就是著名的能量守恒定律一句话：任意过程中系统从周围环境吸收的热量、对环境所做的功和系统内能增量之间在数量上守恒。

数学表达式为：

若系统状态发生一个微小变化，则热力学第一定律就写成：

式中δQ和δW分别为过程的微小的热量和微小的功，它们不是全微分，所以用“δ”而不用“d”来表示，以与全微分表示区别

应用式（1）时须注意Q和W的正负号为：

热传递过程: 系统吸热Q>0，系统放热Q<0；

做功过程: 系统对环境做功W >0，环境对系统做功W<0。

为系统的内能增量，U是状态函数，即的数值只取决于系统的始态和终态，而与系统由始态变到终态所经过的具体过程无关,而其中Q和W 则与过程有关

根据系统内能改变涉及到的过程对于热力学第一定律又有以下三种表示：

（1）如果单纯通过做功来改变系统的的内能，内能的变化可以用做功的多少来度量，这时系统内能的增加（或减少)量△U就等于环境对系统（或系统对环境）所做功的数值，即

(2).如果单纯通过热传递来改变物体的内能，内能的变化可以用传递热量的多少来度量，这时系统内能的增加（或减少)量△U就等于外界吸收（或对外界放出）热量Q的数值，即

(3).在做功和热传递同时存在的过程中，系统内能的变化，则要由做功和所传递的热量共同决定。在这种情况下，系统内能的增量△U就等于从外界吸收的热量Q和外界对系统做功W之和。即

考虑到内能是整个系统的能量，难于测定，而热传递的量可测，所以公式移项变为：

因为W被规定为环境对系统（或系统对环境）的体积功，所以可以表示为W=(PV)，P即体系压强，V即体积；因为一般的化学反应都是在恒压状态下（都是敞口的容器，密闭容器技术含量高，危险性大，比较不常见），所以P是定值，这时候W即转化为V的差值。所以有了:

展开换一下：

这个时候需要定义一个物理量来简洁的表示（U+PV），作为热学上表示物质系统能量状态的一个参数，即为焓（用H表示）焓并无实际物理意义，是人为规定的物理量。

在理想状况下，一个恒压化学反应的热传递（Q）就是焓变()。

热力学第一定律还可表述为第一类永动机（一种能不断自动做功而无须消耗任何燃料和能源的机器）是做不成的。

热力学第二定律:

热力学第二定律存在以下多种表述。

（1）克劳修斯表述： 热量可以自发地从温度高的物体传递到较冷的物体，但不可能自发地从温度低的物体传递到温度高的物体。

（2）开尔文-普朗克表述 ：不可能从单一热源吸取热量，并将这热量完全变为功，而不产生其他影响。（第二类永动机不可能制成）

（3）后果不可消除原理:挑选某一个自然界自动进行的过程，指明它所产生的后果不论利用什么方法也不能够自动消除，即不能使得参与过程的体系和环境恢复原装，同时不引起其他变化（后果）。

（4）熵增原理：密闭体系由平衡态A经过绝热过程变到平衡态，体系的熵永不自动减少，熵泛指某些物质系统状态的一种量度，某些物质系统状态可能出现的程度.其本质是一个系统“内在的混乱程度。熵在绝热可逆的过程中不变()，在绝热不可逆的过程中增加()。(孤立的体系中进行着不可逆的过程，总是向熵增大的方向进行，即自然状态总是倾向更无序的，就像你的电脑桌面，你不去定期收拾一下只会越来越乱)。数学表达式为：

克劳修斯将一个热力学系统中熵的改变定义为：在一个可逆过程中，输入热量相对于温度的变化率，即:

T为物质的热力学温度;Q为热传导过程中输入的热量。

在绝热过程中:

; 不可逆过程；

,可逆过程；

，不存在过程

对于以上熵增原理，环境熵变和隔离体系的熵变的计算如下：

因为环境是一个无限大的热源，与系统做有限的热量交换不致于引起T的改变，故T（环境）为常数，同时不管体系与环境交换的热是可逆或不可逆方式，对大的隔离体系 (隔离体系)=Q/T,可以视为微热，即(隔离体系)=0，带入（5）得出

式子8表示为一个具体的过程，即等温的过程（上面提到的绝热过程T改变忽略不计，为常数）

1.2.自由能的分类

上面说到热力学第二定律（熵增原理）的，考察的是一个等温的过程，更加具体的的过程可以分为等温等容的过程和等温等压的过程。

（1）在等温等容的过程中：

热力学第一定律可知：=0 （体积无变化，体系除体积功无其他功时 ，对外做功为0）

将(9)式带入热力学第一定律公式（1）得：

令 , 则有：

称为亥姆霍兹自由能（Helmholz free energy），亦称亥姆霍兹函数，又称为功函（work function），它显然是体系的状态函数。

意义： 此式的意义是，在等温等容过程中，在无其他功时，亥姆霍兹自由能可逆的过程中保持不变，在不可逆的总是减少，直到最小时体系达到平衡。

（2）在等温等压的过程中：

由热一可知,体系除体积功无其他功时

规定为环境对系统做功时，则： ,

将其与（9）代（1）式得出：

有，

令 ，结合（4）又可以表示为:

则有

所以有 时 ，过程自发

在（12）式中，U,T,S,P,V都是状态性质，于是把（13）这个特定的组合也定义为一个新状态函数，并将平衡态体系的成为Gibbs自由能

意义： 此式的意义是，在等温过程等压中，在无其他功时，Gibbs自由能可逆的过程中保持不变，在不可逆的总是减少，直到最小时体系达到平衡。

1.3.常见的自由能变化过程

以上作为无论是亥姆霍兹自由能还是吉布斯自由能，均涉及到两个关键的概念即内能和熵能，自由能的变化可以抽象为：自由能变化=内能变化+熵能变化, 由这个关系可以知只要能引起系统内能或熵能的变化，均可以引起自由能的变化：

(图1：常见的自由能变化过程来自论文：Best Practices for Alchemical Free Energy Calculations)

A：由分子构象变化引起的自由能变化；

B：配分系数，例如 log P 或者 log D；

C: 分子插入膜蛋白过程的自由能变化；

D:由蛋白或宿主残基的突变引起的结合自由能变化；

E:小分子与蛋白或者宿主的绝对结合自由能变化；

F:一个分子和另一个分子与同一个靶标蛋白的相对结合自由能变化。

....................

这些过程还有很多，从热力学状态总的来说分为三种系统本身，系统与系统间，系统与环境，例如:

a.系统本身： A就是分子构像改变，从而分子内能被改变，引起自由能的变化

b.系统与系统： 无环境，即真空下两个分子结合的自由能，属于 （亥姆霍兹自由能）范畴下在量化计算中，设置K=0时，根据热三定律，熵值为0，此时的结合自由能其实就是结合能 （结合能）（ps:结合能，将一个粒子从一个粒子系统中分离出来或将该系统中的所有粒子分散所需的能量。结合能特别适用于原子核中的亚原子粒子、与原子核结合的电子以及与晶体中结合在一起的原子和离子）,设置K不等于0时，此时温度的变化会引起两个粒子系统中分子的分子内能变化，某些对系统熵有贡献的项可以引起熵的变化，从而计算结合自由能。即，结合能是结合自由能的一部分，另一部分是熵能变化.

c.系统与环境：如B过程，系统从真空到水溶剂环境，配分系数的改变，这一过程通常是系统溶剂化的热力学过程，这部分的自由能常称为溶剂化自由能。如BCDEF过程均涉及到两种或者两种以上系统与环境的相互作用过程（不一定就是化学意义上的那种共价结合，也可以是非共价），这些自由能，统称为结合自由能，即溶剂化自由能还是结合自由能的范畴，是对结合自由能更为具体热力学过程的一种表达。

2.计算自由能的意义

自由能的计算在计算科学领域是一个非常重要的研究课题, 所有物理、化学以及生物过程自发进行达到的程度都是由初态(反应物)与终态(产物)之间的自由能变化决定的. 对于一个反应来说, 反应的自由能差对应于该反应的热力学上的可逆功.

在生物学领域中, 生物大分子之间的相互作用蛋白质折叠，离子通道以及生物分子与材料的相互作用等都是很重要的研究课题. 在这些研究中, 对生物大分子结构与功能, 和对新设计的生物分子或生物材料的评价是很重要, 都可以通过对其能量学的考察得到揭示。

在实际的研究体系中，比如生物体内药物和靶酶分子结合的过程，就是在等温等压的条件中进行。要判断等温等压条件下过程进行的方向及限度，很自然的要选用吉布斯自由能减少原理，从吉布斯自由能的变化来判断药物分子和靶酶分子是否结合以及结合强度。

2.1.计算结合自由能的意义

结合自由能（binding free energy） 在生化领域通常是指存在于配体与受体之间的相互作用。随着药物-蛋白相互作用理论研究的不断深入以及计算机辅助技术的快速发展，自由能计算方法日渐完善。共价相互作用和非键相互作用，是两类存在于配体和受体之间的相互作用。非键相互作用{作用弱，能量低}存在于大部分体系中，主要由三项构成：范德瓦耳斯作用、静电作用和氢键作用，上述几项均可以使用力场方法计算。而共价相互作用（作用强，能量高）仅存在于极个别的体系中，它的本质是旧化学键的断裂和新化学键的生成，只能采用量子化学计算来处理。在实际的药物小分子（配体）和蛋白质（受体）复合物体系中，一般只存在非键相互作用，因为药物分子利用非键相互用和受体产生可逆的结合，而且更加有利于自身的代谢和排泄。使用实验温度T和结合常数K，可以大致估算结合自由能。

计算结合自由能不仅可以评估实验测定的配体与受体亲和能，还可以作为药物设计的参考。如在分子对接中，目的是如何找到配体分子和受体分子的最佳结合位置，因此分子对接通常会面临两个重要的问题：如何找到最佳的结合位置以及如何评价对接分子之间的结合强度。不仅是分子对接方法，其他基于结构的药物设计方法，比如从头设计等，最终往往都面临一个同样的问题，就是配体分子和受体分子之间的相互作用的评价。许多药物和其他生物分子的活性都是通过与受体大分子之间的相互作用表现出来的，所以受体和配体之间结合自由能的预测是基于结构的计算机辅助药物设计的核心问题之一。

2.2.计算溶剂化自由能的意义

自由能是最重要的热力学性质之一，一个物理、化学过程的自由能变化可以帮助我们了解平衡状态下该过程自发进行的程度。根据ben－Naim定义，溶剂化过程是在恒温恒压下，溶质分子在固定位置从理想气体状态下进入到液相的过程若溶剂为水，则该过程被称为水合过程。溶剂化过程的自由能变化即为溶剂化自由能，它描述的是溶质分子在溶剂中溶解的难易程度。溶剂化自由能与诸多热力学性质相关，可以用于计算配分系数、溶解度、结合或解离常数（结合自由能、酸碱解离常数）等，计算溶剂化自由能能够帮助我们理解和处理诸多环境问题，改善药物溶解性而提高药效、减小其负作用等.

蛋白质一蛋白质之间及蛋白质与其它分子之间的相互作用，在许多生物体系和生命过程中是非常重要的。同时，合理的环境也是送些体系和过程所必需的。溶剂效应可影响蛋白质的稳定构象－折叠及分子识别等等。快速、准确、定量地计算溶剂化能量，显得尤为重要。为了准确地描述各种复杂环境下的溶剂化能量，目前，已经发展了分子（显示）和连续（隐性）介质模型。然而，采用分子（显示）模型后,计算量要比在真空条件下大得多，这时，许多研究人员对于发展计算快速的连续介质模型方法便产生了极大的兴趣。

以下为配体分子（L）与受体分子（P）相互作用的过程，这个过程非常复杂，前面说到配体和受体产生相作用时，一般包含两类相互作用，这里我们只讨论非键相互作用，为了简洁的描述配体受体这一热力学过程，简化了研究模型，这里只预设了初始状态配体在环境中（溶液/水环境），且与环境和受体存在静电和非键静电（范德华力）相互作用。实际上还有氢键作用，疏水作用，芳香基团之间的轨道相互叠加等。

虽然原则上可以从一个长的分子动力学轨迹中估计结合的自由能或解离常数，该轨迹对许多关联和解离事件进行采样，这种方法通常是不切实际的，生物体系和溶液中的体系，其柔性很大，直接求算自由能存在很大的困难,在合理的时间尺度上通常是不可能的，会受到计算机时的限制。然而，由于自由能是状态的函数，我们可以自由地选择一条连接结合态（耦合）和非结合态（解耦）的任意路径，即使它是非物理的，并使用某种形式的重要性取样来计算沿这条路径的自由能变化。

分子动力学模拟不是直接模拟实验中小分子与蛋白相结合的真实过程，而是通过建立热力学循环间接计算小分子与靶蛋白的结合自由。在实践中，通常是通过在一系列炼金步骤中扰动哈密顿，逐渐关闭配体和受体之间的相互作用，有效地使配体消失。在随后的步骤中，在溶剂中反转扰动，使配体恢复到完全溶解的环境中，完成热力学循环图（A--->F）

（图2：配体和受体结合的热力学过程图来自论文：Accurate calculation of the absolute free energy of binding for drug molecules）

自由能计算有许多实际应用, 常见的一些, 并计算相应的自由能变化.

受体-配体结合的热力学过程，包括溶剂化能/水合能, 小分子与一些大的受体生物分子(通常是蛋白质)之间的结合自由能. 这两个过程都涉及从体系中添加(引入/耦合)或移除(解耦/消除)研究的小分子。他们形成复合物的结合自由能自然包括溶剂化自由能。这一热力学过程可以从两种不同的反应方向去描述，如图是从配体（L）和受体(P)往结合方向，当然也可以从复合物(PL)解离成P和L过程。下面简述一下P+L------>PL的热力学过程。

在这个热力学循环中，我们需要模拟的系统由它们周围的黑色圆圈表示，限制势的存在由回形针指示，白色配体意味着它不与环境相互作用（但仍存在分子内作用），蓝色表示显示水溶剂环境。

A状态下：假设蛋白质（P）与小分子（L）远离，此时L与P之间还没有相互作用,L体系与环境（如溶剂水）间具有相互作用（橙色表示有相互作用：L与水耦合）主要为静电相互作用L(elec)，非静电相互作用(VDW)为溶剂化自由能（ΔG(solve)）

B状态：分别慢慢关闭 L与环境(Water)间的相互作用，即小分子 －溶剂间的 ele和 vdw，此时的小分子如同虚原子（Ghost-atoms，白色表示小分子此时与环境无相互作用:L与水解耦，即为去溶剂化）；

C状态 ：无相互作用力的小分子与蛋白结合，进入蛋白的 结合口袋，形成状态Ｄ中的复合物，这里引入了限制势，限制势的引入是为了防止配体在蛋白质中乱跑（尤其是关闭了大部分配体与环境的相互作用时）、阻碍收敛，只要最后在能量加上校正项就行。

需要注意的是在关闭相互作用时，我们总是先关闭静电作用，再关闭非静电项；如果反过来的话，那就会出现这样的情况——正负电荷的原子可能会靠的无限近，这显然是不合理的。反之，如果使用的是逐步打开相互作用的途径，那就应该先打开非静电项，再打开静电项。

C状态 :看上去我们似乎C到D的自由能变化，但实际上C与D的状态是完全相同的，反正此时的配体都不与周围环境有任何相互作用了，由自由能的定义可知，换个环境对自由能改变为0。

E状态 ： L在P的结合口袋中,打开配体L与受体P之间的相互作用elec和VDW,此时ΔG为结合自由能ΔG（bind）

F状态： 解除限制势L与P间的限制势，形成闭合的热力学循环，形成生物体系中的配受体复合物

因此，由 Ａ 直接到Ｆ变化的结合自由能，可等价于由状 态 Ａ 经状态 Ｂ—Ｅ(C->D过程自由能无变化)转变为状态Ｆ过程的能量变化总和。（公式2.26所示）

以上（2.2.1）到（2.2.5）式相加得：

通过分别模拟小分子在溶剂水和靶蛋白的口袋 中，慢慢关闭或打开小分子与环境间的相互作用 （ ele和 vdw），以上两个过程构成了一个热力学循 环。由于小分子与环境间相互作用的关闭（或打开） 的过程是不存在的非真实物理过程，因此该计算过程也被称为“炼金术”。（使用不同的的算法来评估这一过程的变化，从而会衍生出不同的自由能计算方法，在第3节中讲到）

3.自由能计算方法

自由能的计算可以使用基于量子化学的方法，也可以使用基于分子动力学模拟（MD）的方法，然而两者的原理大为不同。量子化学（QM）的方法考虑了实际电子结构，原则上说在计算相互作用焓的时候应该比做了大量近似处理的分子力学精确的多，但缺陷在于其巨大的计算成本；只能对于某一个或者几个期待的构象进行静态的研究，难以对构象变化带来的熵进行计算——量化中熵的计算仅能考虑振转熵贡献，是基于hessian矩阵的计算。

相比之下分子力学能够对体系的构象变化进行充分的采样，并且可以处理大如蛋白的体系，使用显式溶剂模型——显式模型下才能考虑到某些复杂的能量变化，例如疏水空腔的“高能水”释放，离散溶质效应……，更多详细的可以阅读文章:HYDROPHOBE Challenge: A Joint Experimental and Computational Study on the Host-Guest Binding of Hydrocarbons to Cucurbiturils, Allowing Explicit Evaluation of Guest Hydration Free-Energy Contributions

以下我们所讨论的自由能计算方法均为为分子动力学这一时间和空间尺度的。自由能计算方法是计算生物化学的一个关键挑战。成功的自由能预测依赖于正确的哈密顿 (量子力学中，哈密顿量:H，是一个描述系统总能量的算符。它在大部分的量子理论公式中十分重要。通过经典力学的分析，哈密顿量通常被表述为系统动能和势能之和)、可靠的评估算法 化及充足的采样 这三个基本要素。

3.0.分子模拟自由能变化的理论基础和原理

3.0.1.简述

前面讲到体系自由能的变化=内能的变化+熵能的变化，那么分子动力学模拟是如何计算体系自由能的变化呢？先简单了解下，分子动力学模拟的基本原理。分子动力学模拟是基于分子力场的，其基本思想是根据分子的势能函数，得到作用在每一个原子上面的作用力，利用牛顿第二定律求解运动方程，得到原子在势能面上的运动轨迹。

分子动力学中分子构象是通过对牛顿运动公式的积分得到的，根据粒子的位置、速度和受力计算 (又称为步长，单位常用fs,一般为1，2fs为一个步长)时刻之后粒子的新位置和新速度的算法。

为了使原子动起来，在分子动力学计算的开始需要给原子一个力或者一个初速度。不同原子的初速度不同，一般符合Boltzmann分布。在时间内，各原子以为初速度， 为加速度运动一定的距离，从而得到一个新的构象，同时新的势能面产生了，然后重新计算各原子在新的势能面下的加速。

常见的自由能变化过程在2.2有讲到，比如配体和受体分子的结合，小分子插入膜蛋白，分子溶解在水溶剂中等都是，只要是有化学变化过程的，都能用反应坐标这个东西来表达化学反应的进行过程，说白了就是利用简单的几何图标，加以表示单个或者是数个分子在实体化学反应中所经历的转变途径。由此看出其局限于简单的化学反应体系，比如小分子穿过某一通道，通道中轴即可定义为反应坐标用来表达分子在通道中多经历的转变途径，但是对于复杂体系是很难去定义反应坐标，例如H2在沸石表面的吸附，虽然可以只关注一个甚至数个H2分子但是还是无法用简单的几何参数去确定他要吸附的位点。因此最常见的则是用自由能作为主要参数，对于一些几何参数有时会在更复杂的反应中使用，例如是不同分子实体的键级。

前面说了，自由能里面有个叫熵的东西，这个东西能模拟吗？不能。熵的定义，叫“一个体系所有的可及微观状态数Ω的对数”， S=k*lnΩ， Ω这个东西，你没法数。根据分子模拟的原理可以知，分子模拟一步（）算一个采样，假如一个采样对应一个状态的话，等于说你让跑几步它就有几个状态，一般分子模拟均在ns（1ns=fs）级别采样，至少有步,这个量大太大了，分子模拟不能模拟熵，只能去近似的描述下，后面会讲到。用严格的话来讲，应该说“熵不是体系微观状态的热力学平均量”，或者“熵是与相空间的体积有关的量”。只有那些有对应微观热力学量的宏观性质，才能模拟之，平均之，比如体积，比如内能，比如压强。

那么问题来了，自由能的变化=内能的变化+熵能的变化，如果熵不能被模拟计算出来，那么该如何计算自由能的变化

在说这个问题之前，我们来看看实验怎么测定一个反应前后的自由能差的。怎么测的，还记得吗？。。测浓度变化。。有了反应平衡后的浓度分布，可得平衡常数（产物浓度^m/反应物浓度^n, m,n是配平系数，你懂的），有了平衡常数K，然后∆G＝-RT ln K。。。可是这个魔术是怎么变的呢？关键在这个平衡常数，它体现了体系中的分子的选择：是选择反应物态，还是产物状态。。如果向往产物态，K值很大；如果向往反应物态，K值较小。。。这个向往，体现了分子“哪儿凉快哪儿呆着去”的本能抉择，以及“哪自由能低哪儿就去哪儿”的自由意志。。。所以最终浓度，反映的是一个由于自由能落差而产生的在两种状态之间的分布状态不同，即概率密度！！如果你看懂了，恭喜你，往下理解就简单了。分子模拟要模拟自由能，正要从分布概率入手！！！

分子模拟怎么模拟自由能变化？简单说，假如体系有A,B 2个状态，你让体系自己去跑。。。跑跑跑。。。跑完一统计，在A态待了20%时间，在B态待了P2=80%时间，概率分别为PA=0.2, PB=0.8, 好，平衡常数K=P2/P1=4, AB两态的自由能差是°＝-RT lnK=-0.6*ln4 ≅ 0.8 kcal/mol (T~300K, 一个kT大约0.6kcal/mol, kT是一个能量单位,k为玻尔兹曼（Boltzmann）常数,T为温度.这个值和温度有关,常温下约等于0.6kcal/mol.在热力学和统计力学中是一个很重要的量.) 这就是分子模拟模拟自由能变化的原理。

既然分子模拟自由能的变化是要重概率分布入手的，很快就会想到物理化学中领域中的统计力学里面很多概念，先简单回顾下以下几个概念，统计力学中的玻尔兹曼分布，系综与配分函数。

统计力学（Statistical mechanics）是一个以玻尔兹曼等人提出以最大熵度理论为基础，借由配分函数将有大量组成成分（通常为分子）系统中微观物理状态（例如：动能、势能）与宏观物理量统计规律 （例如：压力、体积、温度、热力学函数、状态方程等）连结起来的科学。如气体分子系统中的压力、体积、温度。伊辛模型中磁性物质系统的总磁矩、相变温度、和相变指数。

3.0.2.玻尔兹曼分布

在统计力学与数学中，玻尔兹曼分布（或称吉布斯分布[1]）是系统中的粒子在各种可能微观量子态的概率分布、概率测度，或频度分布。玻尔兹曼分布是能量状态与系统温度的函数，给出了粒子处于特定状态下的概率。其具有以下形式：

其中为量子态i的概率，为量子态i的能量，k为玻尔兹曼常数，T为系统的温度，M为系统为可具有的量子态总数目。分母部分是对系统的所有量子态的进行总和，而此部分又称为配分函数，通常用Q表示（在某些书中用Z表示）

3.0.3 系综与配分函数

配分函数（英语：Partition function）是一个平衡态统计物理学中经常应用到的概念，经由计算配分函数可以将微观物理状态与宏观物理量相互联系起来，而配分函数等价于自由能，与路径积分在数学上有巧妙的类似。配分函数通常意指正则系综中的配分函数，而其他的系综，亦有其相对应的配分函数，如巨正则系综对应巨配分函数。

配分函数通常意指正则系综（NVT）中的配分函数，而其他的系综，亦有其相对应的配分函数，如巨正则系综对应巨配分函数。

微正则系综：

正则系综：

巨正则系综：

最初，让我们假设一个热力学大的系统以温度T与环境热接触，并且系统的体积和组成粒子的数量都是固定的。这种系统的集合包括一个称为正则系综（固定温度体系）。正则配分函数的适当数学表达式取决于系统的自由度，上下文是经典力学还是量子力学，以及状态谱是离散的还是连续的。

对与经典离散系统（量子力学）

由玻尔兹曼分布定律中的式(3.1.1）,对于经典和离散的集合，可以知正则系综配分函数的定义如下:

在公式（3.0.2）中：

表示系统微状态（量子态）的索引

M表示系统为可具有的微态总数目

是各个微观状态（j=1到j=M）下系统的总能量

该指数因子也被称为玻尔兹曼因子

经典连续系统（经典力学）

在经典力学中，粒子的位置和动量变量可以连续变化，因此微状态集实际上是不可数的。在经典的统计机制中，将配分函数表示为离散项的总和是相当不准确的。在这种情况下，我们必须使用积分而不是总和来描述配分函数。对于经典和连续的正则系综，配分函数定义为：

在公式（3.0.2）中：

h是普朗克常数

H(p,q)是系统的哈密顿量

p指的位置

q指是的动量

正则配分函数与概率论的联系

为简单起见，我们将在本节中使用配分函数的离散系统形式公式（3.0.2），结果同样适用连续的系统。这里的概率指的是玻尔兹曼分布,由公式（3.0.1）和（3.0.2）可知玻尔兹曼分布概率可以表示为：

从分布的形式可以看出，低能量的状态比起高能量的状态具有较高的分布概率。同时也能定量地比较两能级(例：A和B)分布概率的关系：

玻尔兹曼分布通常用于描述粒子的分布，例如原子与分子在各种量子态的分布情形。在多个粒子的情况下，能级的分布概率即对应到处于该能级的粒子数的期望值：

其中为处处于i能级的的粒子数目，N为系统中的粒子总数目，带入（3.0.1）式得：

正则配分函数计算热力学总能量

为了证明分配函数的有用性，让我们计算总能量的热力学值。这仅仅是能量的期望值或总体平均值，即通过其概率加权的微状态能量的总和：

式（3.0.8）中s表示微状态（量子态）的索引总和，与式（3.0.2）类似，i=(1,2,3,4,M) ,s=(1+2+3+4+..M)

正则配分函数与热力学变量的关系

分配函数与系统的各种热力学参数之间的关系。这些结果可以使用上一节的方法和各种热力学关系来得出:(只列结论)

（1）能量的平均值：如公式（3.0.8）

（2）广义的力/压强的均值：

其中为广义坐标。对于压强P，广义坐标为系统体积V:

(3) 熵:在熵的特殊情况下，熵由以下式给出：

其中A为亥姆霍兹自由能，定义为,其中U =⟨E⟩是总能量，S是熵

由以上（1）（2）（3）三式和热力学定义和定律可以得到其他的热力学量：

（4）亥姆霍兹自由能（Helmholtz），由上式（3）中的（3.0.11）和1节中的（11）式可以得出：

对于经典连续系统（经典力学）,由于分子模拟就是基于分子力场的属于经典力学范畴，，此时Helmholtz自由能A与N,V,T系综的配分函数Q有关，这一系综被认为是等温等容(NVT-正则系综)MD模拟产生的平衡系综，根据式（3.0.3）有：

(5) 吉布斯自由能（Gibbs）,联合1节中的(13)式：

对于对于经典连续系统（经典力学），一般更有用的Gibbs自由能G与N,P,T系综的配分函数(这里用来区别正则系综下的配分函数)这一系综被认为是等温等容(NPT系综)MD模拟产生的平衡系综，根据式（3.0.3）有：

(6) 焓

通过以上基础理论的推演我们可以发现，在经典连续系统（经典力学）下体系粒子的位置和能量是可以连续变化的，由于分子模拟是基于分子力场，体系的势能可以可以表示为体系粒子的位置函数，这个函数图像其实就是势能面，即体系在所有微观状态i(i=1,2,3,M)的能量所形成的面，可以称为内能E(U)势能面。

通过玻尔兹曼分布定律公式（3.0.4）将体系的内能势能面转换成了玻尔兹曼(Boltzman)分布概率，玻尔兹曼分布概率再借由配分函数(Q)公式（3.0.12）转换为了自由能势能面,过程如下所示：

经过如上图的两次转换，由以上的推导过程如公式（3.0.11）,（3.0.12）和（3.0.13）所示，可知道熵的效应就被包括了，其中关于在于玻尔兹曼分布概率，前面说到分子动力学模拟时粒子的速度分布是符合Boltzman分布，求解出来的坐标自然也符合Boltzman分布。显然，Boltzman分布函数是内能势能面和自由能势能面之间的纽带。

由公式（3.0.2）和（3.0.11）可知Boltzmann公式中的， 以热驱动的形式，将分子从它喜欢的低势能状态推向它不喜欢的高势能状态，造成相空间中的可及状态数增加(相空间体积增加)；温度越高，推动下的状态数增加就越多，熵就是这么包括进来的。

3.1.自由能计算发展简史

分子模拟自由能的计算方法的发展可分为三个阶段：

第一阶段（1976-1985）:自由能计算鲜有包含溶剂效应的，是比较粗略的计算方法，关于溶剂化模型详情参考文献

第二阶段（1985-1998）：发展了自由能微扰（Free Energy Perturbation (FEP)）和热力学积分Thermodynamic Integration (TI)这两属于经典方法，基于经验方程的自由能计算方法（如bohm的自由能预测模型，Eldredge的自由能预测模型（半经验方法））和基于分子动力学采样的自由能计算方法-LIE(线性相互作用能)

第三阶段（1998后)：年后发展了基于主方程的计算方法，如MM/PBSA及GB/SA自由能计算方法。 最新发展出来的自由能计算方法有 Jarzynski Equality（非平衡近似）、Metadynamics等。

3.2.相对自由能计算与绝对自由能计算

严格的结合自由能计算包括相对结合自由能计算和绝对结合自由能计算。相对结合自由能一般是指两个不同配体分子对于同一受体的结合能之差，是基于分子动力学方法的（MD）。当两个配体分子结构相近且受体与它们结合时不发生大的构象变化或者构象变化相似时，借助于误差相消，相对结合自由能计算可给出相当精确的预测。绝对自由能(也称构型自由能)计算可预测任一分子与蛋白的结合强度并能明确地指出计算误差的原因，从而对理论方法的发展和力场参数的建立起到重要的指导作用。目前绝对结合自由能计算方法之一是双去耦合法，此方法已经成功应用于许多体系的研究。

3.3.自由能计算方法的分类

相对自由能计算即基于分子动力学模拟（MD）的方法这一范畴中，自由能计算分类的维度可以根据评估算法，采样方法等来进行分类。这里主要分为以下几类：

第一类方法：经典自由能计算方法： 自由能微扰法：Free Energy Perturbation (FEP) 和热力学积分法：Thermodynamic Integration (TI)。这类方法从原理上来讲比较严格，计算结果也较为准确，但需要长时间的数据采集，对计算体系有严格的限制，只能适合较为简单，而且这类方法一般只能计算两个配体之间相对结合自由能，因此在以往的药物设计中的应用受到了很大的限制,但是得益于近些年计算机性能的迅猛发展，由于这类方法计算的准确度高，已成为药物设计中的研究自由能的主流方法。

第二类方法：基于主方程的方法： 这类方法假设结合自由能来着不同的能量项的贡献，而且这些能量项之间是不存在交叉相互作用的。分别计算这些能量项并相加就得到总的能量。这类方法仅仅需要对体系结合前和结合后的构像进行采样而不需要对过渡态状态采样，因此计算量比FEP和TI大大降低，这类方法中最具代表性的就是近年来发展起来的MM/PBSA方法。

第三类方法：基于经验方程的自由能计算方法： 这类方法教较第一类方法更上层一点，不需要进行分子动力学模拟来获取获取体系各状态的自由能，而是对训练集已有的自由能数据利用统计学方法得到自由能计算经验公式。其把结合自由能分解为不同的相互作用能量项，取样简单，计算量小，在药物设计中尤其是分子对接应用较多（因为速度较快），但这类方法得到的经验公式很依赖训练集的选择，对不同的体系也具有不同的预测能力。

第四类方法：基于前面类方法的优化改进而来 ，如Jarzynski Equality ，Metadynamics, 其中BAR ,MBAR(均为自由能计算的后处理方法)等

下面简单总结了计算科学领域中被广泛使用的自由能计算方法, 简述自由能计算方法的基本原理、操作过程以及所具有的特点, 更加具体推导过程见参考文献。

3.3.1.从PMF到 Umbrella Sampling（US） ，WHAM

根据3.0中统计热力学的基本原理可知, 系统的自由能与研究体系的概率分布有关. 对于系统从状态0转变为状态1的过程, 其自由能差值可以由研究系统在两个状态下的概率分布得到:

因此对于一些特殊体系的自由能数据, 我们可以统计出体系在所要研究两种状态的概率分布之比, 进而使用公式(3.3.1)来计算相关的自由能数据。

但是真实的体系不可能只有0，1两种状态，比如两分子相互靠近过程中，有无数个状态。如果你把反应坐标离散化，切成一小段一小段，那么状态数取决与你怎么切。你可以放开体系让它自己在每一段上自由地跳来跳去，最后你统计它落在每一段上的舞步数目，最终可以得到一个概率密度分布，最后用公式（3.3.6）转换成每一小段（状态）上的自由能，连成一条起伏的曲线，即关注的是自由能数据随着给定的反应坐标r的变化趋势，即沿着所选坐标的自由能表面叫PMF，为自由能势能面，全称叫平均力势(Potential of mean force)。顾名思义，当两个分子在靠近的过程中，整个体系其他的分子都对它俩有作用力的影响，最后得到一个平均的效应，所以叫平均力势。

那么，概率密度分布具体是怎么转化成PMF数值呢？我们先来简单了解径向分布函数(rdf)(只列相关的结论)，也就是我们上述提到的概率密度分布，简单来说它是测量在距离给定参考粒子 r 一定距离处找到另一个粒子的概率。

(图3 rdf切片定义，A为g(r); B为归一化，表示为所有以A离子为中心, 半径 的壳层内B离子的平均密度(图3B))

为了得出g（r）的表达式，我们首先考虑n粒子密度分布，它与特定n粒子构型(粒子的坐标)的概率成正比：

上式，N为系统粒子总数目，其中只有$n

对于球形的各向同性系统，可以通过认识到径向分布函数仅取决于粒子的分离，并应通过围绕参考粒子绘制的半径为r的球体的面积进行归一化来简化后一种公式（“ 球面熵”）：

对（3.3.4）进一步归一化得：

其中其中, 为距离A粒子 r 处B粒子的密度(图3A), 为距离为所有以A离子为中心, 半径 rmax 的壳层内B离子的平均密度(图3B).

平均力势(PMF或POMF)定义为在给定距离下，将两个粒子从零相互作用状态可逆地带入完全相互作用状态所做的功:W(r)。

PMF可以直接从RDF中得到:

公式（3.3.6）就是KB解理论，简单说Kirkwood-Buff（KB）解理论将宏观（本体）性质与微观（分子）细节联系起来。KB理论使用统计力学从多组分溶液中所有分子之间的对相关函数中得出热力学量。 KB理论被证明是验证分子模拟以及阐明各种物理过程基础机理的分子分辨率的宝贵工具。例如，它在生物学相关系统中有许多应用。其中PMF本质上是解决方案中两个分子之间有效交互作用的量度。

例如, 计算两甲烷分子在水中的结合自由能势能面（PMF）,分开这俩分子让它们在水里跑，最后计算它们之间的径向分布函数g(r)(radial distribution function, RDF) , 假设一个甲烷分子为i,另一个甲烷分子为j, 那么RDF就是i和j分子相距不同距离的概率密度用表示，然后按照下列公式计算每一点的PMF值：

为平均力势（PMF的值）沿着反应坐标r(甲烷分子i和j结合的距离)的变化，其图像如下所示：

（图4：（PMF的值）沿着反应坐标r的变化,来自[Barnett GROMACS教程3: 水中的多个甲烷]）

PMF可以通过蒙特卡洛或分子动力学模拟获得，该仿真检查系统的能量如何根据某些特定的反应坐标参数变化。例如，它可以检查系统能量如何随两个残基之间的距离变化，或者随着蛋白质被转运通过脂质双层而变化。它可以是几何坐标，也可以是更一般的能量（溶剂）坐标。

分子动力学模拟与自由能计算已经在化学、生物学与材料学等领域得到广泛的应用。然而，由于在传统分子动力学模拟的时间尺度内(ns级别)，体系很难跨越较高的自由能能垒，在相空间内的采样大大受限，采样困难使自由能计算难以收敛。增强采样是解决这一问题的有效途径，重要性采样方法就是其中一类。应用比较广泛的四种的重要性采样方法———伞状采样方法、metadynamic 方法、自适应偏置力方法和温度加速。详情参考论文重要性采样方法与自由能计算。这里先简要介绍Umbrella Sampling(US)

US方法由Torrie和Valleau于1997年提出的。 为了解决反应坐标空间采样无法遍历各态（nonergodic)的问题，它首先把反应坐标空间分割成 \数个窗口，并在每个窗口内加上偏置势，设第个窗 口的偏置势为，约束反应坐标在窗口内采样。 这时采样得到的概率称为有偏概率，记为，然后 计算第 ｉ 个窗口内的无偏自由能 如下：

其中z为反应坐标， 是仅与窗口有关，而与反应坐标无关的一个未知常数。 偏置势可以有多种不同的形式，最常见的为弹性势能，即 ， 函数图象为二次曲线，就像一把伞一样覆盖窗口，故 取名“伞状采样”。 分割窗口并添加偏置势的过程 如图１所示。 最后使用后处理方法合并窗口，得到整个反应坐标空间对应的无偏自由能 。

(图5：US方法示意图。 图中ΔＧ 表示待探索的自由能曲 线，RC表示反应坐标，红线表示各个窗口内添加的偏置势，黄色点表示体系在各个窗口内的反应坐标值。来自参考文献[8 ])

Kastner和Thiel 指出，在后处理过程中， WHAM方法依赖于窗口的大小，而且没有普遍适 用的最优窗口大小，为解决这一问题，他们提出了 伞状积分（umbrella integration方法。 UI结合了热力学积分的思想，通过计算 来避 免迭代求解 ，加速了计算的收敛速度。 除了 UI之外，Bennet接受比率(BAR)方法与衍生的多状态 Bennett 接受比率 （multistate Bennett accptance ratio MBAR）也是改进的后处理方 法，MBAR可以直接计算得到误差大小，方便理论计算结果与实验值的比较。 除此之外，MBAR可视为一种零窗口宽度的WHAM，减少了WHAM 因为划分窗口造成的偏差，与WHAM相比计算结果的误差更小。

由于 Umbrella Sampling 计算自由能具有严格的理论依据, 因此可以得到非常准确的自由能数据在实际应用中，US方法最明显的不足就是需要 人工调节偏置势高低，很多时候并不知道需要多大的偏置势，早期只能手动尝试。 随后发展的自适应伞状采样方法(adaptive umbrella sampling)对此作了改进，通过不断迭代对偏置势进行自适应地调节，使得采样接近于均匀分布，迭代修正偏置势的算法在自适应US中显得尤其重要。 如果迭代算法选择不合理，就会影响自适应US采样的充分性。

即便如此在生物体系中, 对于 Umbrella Sampling 来说, 溶于水溶液的生物大分子体系是非常大的, 所需的大量的计算资源是 Umbrella Sampling 在该研究领域推广的最大阻力. 此外, Umbrella Sampling 还要求相邻窗口之间拥有足够的重叠部分. 对于很多体系而言, 某些自由能较高的区域需要很多次的尝试, 才能得到较好的取样, 这不仅增加了所需的计算资源, 拖延了计算周期, 更降低了 操作的便捷性. 因而, 在生物大分子领域, 相对于在实际研究体系中的应用, Umbrella Sampling 更多地应用于对新提出的自由能计算方法准确性的检验上。

对于简单的体系，可以从配分函数公式（3.3.1）来求算体系的自由能。但是对于复杂的体系，尤其是生物体系和溶液中的体系，其柔性很大，直接求算自由能存在很大的困难，但是可以考虑计算求算两个差别较小的体系间的自由能的差值

3.3.2.Free Energy Perturbation(FEP)

FEP和TI一般是用来计算差别较少的两个体系之间的自由能的差别。这里以配体和受体之间的结合自由能计算为例子。如果有两配体分子 和,它们和受体R形成了复合物R和R.这两个配体和受体形成复合物时结合自由能的绝对值是难以直接求算的，但是可以采用下面热力学循环来求算两个配体和受体分子之间的结合自由能的差值：

那么这两个配体和受体之间结合自由能的差值为，一般写为 。因为 Gibbs自由能是状态函数，因此下面的关系是成立的：

为两个配体在溶液中自由能的差值；而则为两个复合物在溶液中自由能的差值。这两个自由能都是可以采用FEP或TI计算得到的，当然前提条件是这两个配体在结构 上差别不大。

Free Energy Perturbation由Zwanzig于1954年提出， Zwanzig将研究体系的两个状态(初态和终态)的 自由能差与其能量差值的系统平均联系到了一起。

Free Energy Perturbation 计算自由能的基本思想就是 从一个已知的状态出发, 通过一系列的微小变化, 使 之达到终态, 在每一个中间态上进行分子动力学模拟, 得到体系的势能变化, 最终求解得到初态和终态 的自由能差。

考虑到两个状态A和B,这两个状态仅仅有小的差别。这两个状态的自由能分别为,那么他们之间自由能的差值 由公式（3.0.13）可以知以NPT系综研究过程为例，此时为等温等压环境，体系外做功PV的值恒定，状态A和B的体系对外做功都是一样，所以此时的,，有：

（3.3.11）式中的下标表示相对于状态 Ａ（0）的系综平均。同样上式也可以表示为相对于状态Ｂ（1）的系综平均：

从原理上，可以定义Ａ和Ｂ两个状态下的，然后在Ａ状态下进行模拟，得到相对Ａ状态的系综平均。

但是如果 Ａ和Ｂ状态在向空间没有重合，那么直接采用式 （3.3.10）或式 （3.3.11）计算 得到的自由能会很不准确，因为在 Ａ状态下进行分子动力学采样时Ｂ状态的向空间并没有得到好的处理。一般来讲，当状态 Ａ和Ｂ之间的能量差大于 (0.6kcal/mol).

正确计算能量差较大的两个状态Ａ和Ｂ间的自由能，可以在Ａ和Ｂ状态之间定义Ｎ个不同的过渡状态，那么自由能变化可以表示为：(详细的例子2.2.节中的图2所示)

加入这些过渡状态以后，相邻状态之间的向空间重叠会增加，那么计算的结果会大大改善。 在计算中，为了实现式(3.3.13)所示的过程，设置了一个联系两个状态的耦合常数 λ

对哈密顿量所需的修改是通过将 作为耦合参数 的函数实现的: 这样 =0 描述体系A, =1 描述体系B: λ 从０变化到１，相当于哈密顿量从:

将上式带入（3.0.13）（3.0.15）及（3.3.11）得：

这里，采用一个具体的例子来说明微扰的实现过程。如果体系的能量采用下面的势场函数来表示：

在突变的过程中，式 (3.3.19)中所有的各项的过渡态可以表示成与相关的项:

自由能计算的第一步是确定使用多少个点描述从状态A( = 0)到状态B( = 1)的转变, 在gromacs中均可以开启自由能计算代码(free-energy = yes) ，通过多个值控制以上不同相互作用类型的进度来处理自由能计算，这样就可以分别控制库仑（静电）相互作用的关键参数（coul_lambdas）、LJ关键参数（vdw_lambdas）和约束变换等自由能计算。具体见gromacs计算自由能实践部分和gromacs手册专题部分：自由能计算的实现

在每个下，进行分子动力学或蒙特卡 罗采样。在每个 下，计算分为两个步骤：首先对过渡状态进行平衡；然后采集构象，两个状态 之间的自由能变化就为。那么 从０变化到１的自由能变化为在不同 λ 取值下计算的自由能变化的 和，如图下所示:

(图6：微扰计算自由能变化的过程.来自参考文献12.)

根据的间隔大小, 可以将 Free Energy Perturba-tion 分为三种方法: 固定步长, 慢增长以及动态步长在固定步长方法中, 相邻两个中间态的间隔是固定的。在慢增长方法中, 中间态的数据趋近于无穷多个, 相邻两个中间态之间的差异接近于零。在动态步长方法中, 每一步微扰的步长是可变的, 系统根据上一次微扰的自由能数据变化大小确定下一次微扰的步长。

根据热力学原理构建热力学循环以后, Free Energy Perturbation 就可以用来计算相关反应过程的自由能变化, 对于一般的研究体系, 需要使用 Free Energy Perturbation 进行两次自由能计算, 再根据构建好的热力学循环, 得到最终的自由能变化。

然而, 由于需要对一系列的中间态进行取样, Free Energy Perturbation 计算自由能的过程就需要消耗大量的计 算资源, 在计算效率上与其他方法有较大的差距. 由 于计算过程只涉及到初态和终态, 中间的状态是人为设置的, 所以最终结果只有一个自由能变化的数 据, 不像其他方法那样具有反应坐标以及对应的自 由能数据变化趋势. 因此对于小分子体系来说, 使用 Free Energy Perturbation 方法可以得到较为准确的自由能数据但是涉及到生物大分子体系时, 此方法会给计算带来非常大的压力, 可以截取关键片段 进行相关计算, 或者使用其他计算效率相对较高的方法.

3.3.3.Thermodynamic Integration (TI)

Thermodynamic Integration 的基本计算公式是由 Kirwood 提出的. 在这个方法中, 与 Free Energy Perturbation 比较类似的是, 研究系统的两个状态的自由能变化也由一个耦合变量 连接, 初态时 = 0, 终态时 = 1. 通过连续改变 , 得到一系列介于初态和终态的中间态, 通过对这些中间态的取样, 最终计算得到自由能变化数据. 以 H 表示研究体系在某个状态 下的能量, 从则其具体的自由能计算公式为: (TI的推导和FEP比较类似，只是进行了一步对进行积分计算出该过程自由能的变化)

由公式（3.3.16）和3.3.17计算它们对 的导数作为系综平均:

在 NPT 和NVT系综中的关系与此类似. A和B之间的自由能差值可通过积分对的导数获得:

在实际操作中, 自由能能量的动力学部分并没有被包含在这里面, 这是因为在计算中, 可以根据相关基本原理明确地得到动力学部分的解析解, 同时在利用热力学循环求解研究体系自由能变化时, 动力学的贡献会相互抵消.

在 Thermodynamic Integration 方法中, 计算自由能的基本思想是研究系统在无限长时间内的能量均值等价于其系综平均值, 因而可以通过有限时间的取样来估计系综平均值, 进而通过上述公式求解得到相关自由能数据. 由于在实际应用中, 无法得到连续变化的相关数据, 只能为设定一些差异较小的离散值. 通过对研究体系在不同对应的状态下的多次取样, 估计出研究体系的能量以后, 由（3.3.29）和(3.3.30)的自由能计算公式, 就可得到相关的自由能变化数据:

（图7：热力学积分计算自由能的变化过程。来自参考文献18）

尽管Thermodynamic Integration计算自由能的相关理论出现得很早, 其准确、通用的计算方法却是在最近才提出的. Thermodynamic Integration 方法 与 Free Energy Perturbation 原理以及操作流程上比较类似, Thermodynamic Integration 方法在原理上比较严谨, 计算所得结果较为精确, 计算相关研究体系由能变化的时候需要构建热力学循环, 通过两次自由能数据的计算, 可以求得自由能变化的数据.

同样, Thermodynamic Integration 也需要对研究体系的各个状态进行大量的样本采集, 需要消耗大量的机时. 因而对于较为简单的研究体系来说, 采用 Thermodyna-mic Integration 方法计算自由能数据的可以得到很好的结果, 而对生物大分子体系来说, 对计算资源的需求较大。

3.3.4.MM/PBSA

在 ＭＭ/PBSA方法中，一个溶剂中的反应 A+B→ ＡＢ的自由能变化可以通过下面的 热力学循环计算得到：

如果Ａ为受体如蛋白质，Ｂ为配体如抑制剂，则ＡＢ为结合形成的复合物。那么复合物 形成过程的结合自由能应该为：

式中，是指在气相中 Ａ和Ｂ之间的相互作用能；、以及 是指 Ａ、 Ｂ和 AＢ的溶剂化自由能。在结合自由能的计算过程中，用到了 Gibbs自由能的基本定义式以及热力学循环过程。

从式（3.3.31）可以看到，结合自由能实际上被分为了不同的能量项，要计算整体的结合 自由能，只要能够分别计算出这些能量项就可以了。在MM/PBSA计算中，所有能量项的 计算都不是仅仅基于一个单一的构象，而是基于分子动力学模拟产生的大量构象。从原理上 讲，动力学模拟的时间越长，构象采集越充分，计算得到的能量项数值越准确。

对于气相的，它近似等于受体和配体之间的相互作用能和受体和配体构象能的变化的加和，可以通过分子力学(MM)计算得到。在实际的研究体系中，如果研究的配体分 子是一组同系列的分子。考虑到同系列分子具有相似的结构而且和受体之间形成相同的作用模式，那么在配体分子和受体分子相互作用的过程中，其受体和配体构象能的变化应该是相似的。如果只需要比较分子之间结合自由能的相对大小，那么受体和配体的构象能变化的计算可以忽略。对于部分体系，如果研究的分子具有较大的结构差别，而且在配体和受体的结合过程中，配体或 （和）受体的构象变化较大，就需要对构象能的变化进行考虑。

以及的计算，一般采用解有限差分 Posson-Boltzmann(PB)方程以 及溶剂可及化表面积 (surface area，SA）的计算得到。PB计算用来考察去溶剂化效应中极性部分的贡献；而SA则用来考察去溶剂化效应中极性部分的贡献；。在；计算中，首先计算出在结合过程中体系的溶剂可及化表面的变化； （溶剂可及化表面，solvent accessible surface）。得到采用下面的公式就可以得到去溶剂化自由能中非极性部分的贡献:

熵效应的准确计算一般有下面几种方法：正则模分析 （normal-mode analysis）、准协波分析 （ quasi-harmonic analysis）以及准高斯方法 （quasi-Gaussian approach）。前面两种方法可能比较适合于生物体系，它们的原理基本相同，不同之处在于准协波分析的原子波动矩阵不来自于正交分析的计算，而来自于分子动力学的样本。考虑到正则模分析已经被成功用于多个生物体系，因此，在一般情况下会采用正则模分析来计算体系熵效应对结合自由能的影响。

MM/PBSA方法常应用受体和配体的结合自由能预测，蛋白和蛋白之间的结合自由能预测以及蛋白质和核酸之间结合自由能预测，对于MM/PBSA。熵效应所需的巨大计算量会在一 定程度上限制这种方法在药物设计中的实际应用。因此，发展有效而且快速的计算熵效应的方法是在未来工作中最大的挑战之一。

3.3.5 Jarzynski Equality

Jarzynski Equality 是由 Jarzynski 于 1997 年提出 的[6]. 与 Umbrella Sampling 类似的是, 在使用 Jarzynski Equality 计算自由能的时候, 也要用到额的谐振势引导研究体系访问高自由能区域, 推导过程见参考文献6

自Jarzynski Equality提出十几年以来, 大量的研 究工作说明 Jarzynski Equality 在求解简单体系自由能数据的时候, 能够得到与 Umbrella Sampling 准确度相当的结果. 并且, Jarzynski Equality在操 作的便捷性与计算效率上面都较 Umbrella Sampling 有更好的表现. 然而在体系稍微复杂一些的时候, 功的耗散以及外加谐振势对生物大分子构型的干扰都会对所得自由能数据的准确度产生较大的影响.

3.3.6. Metadynamics（MtD）

Metadynamics是Parrinello等于2002年提出的 一个计算多维自由能势能面的方法. 这个方法与 Umbrella Sampling以及Jarzynski Equality一样, 都是 利用外加额外的势能, 能够更快地对研究体系的高自由能区域取样。与前两种方法不同的是, Metadynamics 在计算自由能的时候, 对研究体系所加的额外的势能为高斯型的排斥势能. Metadynamics 方法类似于“添坑”的过程, 通过对反应路径上的低自由能区域持续地添加排斥势能, 阻止研究体系再次访问反应坐标上已经采集过数据的区域, 不断地促使研究体系向高自由能区域运动, 最后再根据所 添加的一系列排斥势能来计算相关的自由能数据如图8。这个方法最初应用在粗粒度模拟中研究相关体系在变量空间中的动力学行为。之后, Metadynamics 的斥势函数持续地应用在分子动力学模拟当中。这里要讨论的是 Metadynamics 最新发展的计算自由能计算方法。

与US方法相比，MtD方法不再要求必须在分割好的固定窗口内添加偏置势，而是自适应地按照 预先设定的频率添加偏置势。 偏置势的形式通常是 高斯峰，以 ｎ 维反应坐标为例，在时刻为 ｔ 时，其数 学形式表示如下：

其中为高斯峰的高度， 为控制高斯峰半高宽的 变量， 为正比于加峰频率 的时间序列 为 ｉ 时刻反应坐标第 维的值。 ＭtD方法逐渐添加高斯峰的过程如图4所示。

（ 图8：MtD方法示意图。 图中黑线部分表示待探索的自 由能曲线，彩色线部分表示累加的偏置势，由 红到蓝表示累加的高斯峰越来越多，最上方平坦的蓝线 表明添加的偏置势已跨越自由能能垒，此时体系在反应 坐标空间内的采样得以增强。 ）

反应坐标对应自由能可以计算如下：

式d中为自由能，Ｃ为仅与时间有关而与反应坐标z无关的常数

早期的ＭtD方法中，其添加的高斯峰高是固定 的，它的自由能计算公式（free energy estmator） 为时间的显函数，从数学原理角度看，当模拟时间 趋向无穷大时并不收敛到一个确定值。 另外，从计算复杂性的角度看，由于 MtD在计算时需要累加以前计算过的高斯峰，故其时间复杂度为 ，即随着高斯峰的数量增长，模拟每一步的时间会变慢。

为了解决上述问题，MtD也作了许多改进以及 衍生出一系列变种方法，如峰高逐渐减小从而使收敛到确定值的 WTMtD（well tempered meta dynamics ），以及结合了 GRID 的 MtD 方 法，该方法将把偏置势用网格离散化存储以降低计算复杂度。 除此之外，一系列可以加速MtD在多维反应坐标空间中采样的变种方法也逐渐发展起 来，如控制峰宽度参数σ可自适应调整的自适应高 斯峰（adaptivegausia）方法、利用并行原理加速计算的偏置势交换（bias exchange）方法和多步行者（multiple walkers metadynamics，ＭＷＭtＤ策略等。

Metadynamics 在求解自由能的时候拥有很多优势, 首先, 它通过一系列的外加排斥势能, 一点点地把研究体系从低自由能区域推向高自由能区域, 加 速了对研究体系高自由能事件的取样; 其次, 此方法可以设定高纬度的反应路径, 进而求解高纬度的自由能数据, 例如二维的自由能势能面(图9); 再次, 由 于研究体系是从低自由能区域一点点地推高到高自 由能区域, 此方法在寻找最优反应路径方面拥有特有的优势;

(图 9 由 Metadynamics 方法得到的配体-蛋白相互作用体系的二维自由能数据)

最后, 与上一点相关的是, 此方法不需要事先对研究体系的反应路径有预判, 而 Umbrella Sampling 和 Jarzynski Equality 则在计算自由能数据之 前, 就要设置好反应路径. 鉴于上述优点, Metadynamics 迅速成为一种流行的自由能计算方法, 有很多工作使用此方法计算相关的一维以及二维的自由能 数据. 一开始, Metadynamics 计算自由能数据是由独立于常用的分子动力学模拟软件之外的插件 PLUMED执行的. 现在此方法已经集成到了多个计算模拟软件中, 例如: NAMD[, ORAC, CP2K, 以及 CPMD(IBM, Armonk, NY)等.

MtD类方法作为偏置势方法，计算精度和收敛 速度很大程度依赖于偏置势参数（如式3.3.37中的峰高、峰宽和加峰频率）的选择，而这些参数通常没有 普适的选择方法，这也是MtD类方法的不足。

3.3.7.各方法总结对比

参考文献：

1.(US)Nonphysical sampling distributions in Monte Carlo free-energy estimation: Umbrella sampling

2.(基于US的后处理方法：WHAM)THE weighted histogram analysis method for free‐energy calculations on biomolecules. I. The method

3.(FEP:Zwanzig)High‐Temperature Equation of State by a Perturbation Method. I. Nonpolar Gases

4.(TI:Kirkwood)Statistical Mechanics of Fluid Mixtures

5.(MM/PBSA)Revisiting Free Energy Calculations: A Theoretical Connection to MM/PBSA and Direct Calculation of the Association Free Energy

6.(Jarzynski)Nonequilibrium Equality for Free Energy Differences

7.(MtD)Escaping free-energy minima

8.重要性采样方法与自由能计算

9.自由能计算方法及其在生物大分子体系中的适用性问题

10.(BAR后处理方法)Efficient estimation of free energy differences from Monte Carlo data

11.(MBAR后处理方法)(Statistically optimal analysis of samples from multiple equilibrium states)

12.专著《计算机辅助药物设计》

13.专著《Free Energy Calculations :Theory and Applications in Chemistry and Biology》

14.专著《Introduction to Modern Statistical Mechanics》

14.(入门辅助阅读)杂谈自由能计算，PMF，伞形抽样，WHAM

15.gromacs手册：3.12 自由能计算

16.gromacs手册专题：自由能计算的实现

五、体积自由能和表面自由能公式？

自由能的公式是△G=△H-△（TS），系统吉布斯自由能变化等于焓变减温度乘熵的变化值，自由能是指在某一个热力学过程中，系统减少的内能中可以转化为对外做功的部分。

封闭系统在等温等压条件下可能做出的最大有用功对应于状态函数，吉布斯自由能（有时简称自由能或吉布斯函数，符号为G）的变化量。对于化学反应，它的吉布斯自由能的变化量△G可以通过电化学方法测得。

六、有谁见过自由能发电机，永磁动力机吗？

楼主、您好：什么自由能源，里面都说了动力来源是蓄电池，只是改善了电动机和用一些其他手段辅助发电。

七、自由能公式？

自由能的公式是△G=△H-△（TS），系统吉布斯自由能变化等于焓变减温度乘熵的变化值，自由能是指在某一个热力学过程中，系统减少的内能中可以转化为对外做功的部分。

封闭系统在等温等压条件下可能做出的最大有用功对应于状态函数，吉布斯自由能（有时简称自由能或吉布斯函数，符号为G）的变化量。对于化学反应，它的吉布斯自由能的变化量△G可以通过电化学方法测得。

八、自由能源真相？

自由能源是指利用特殊技术夺取电子电场作为能量输出，而电子从环境中获取能量以恢复自身的电场的过程。

19世纪80年代末，电子科学的商业期刊预言将要出现“自由能源”。关于电学自然难以置信的发现将进入普通人家。

Nikola Tesla（尼古拉·特斯拉）演示“无线照明”和其他关系高频电流的奇迹。特斯拉是科学史上最伟大的科学家之一，他在电磁领域颇有建树，特别是他一直致力于自由能源的研究并取得了突破，死后美国FBI将他设计的图纸与实验作品全部没收，并将其列入高级机密，美国军方对他的论文研究至今没有停止，他本人和“自由能源”也就成了一个谜语。

特斯拉预测在20年内，将有汽车、飞机、电影的成就、录音音乐、电话、收音机和实用的相机。这在维多利亚时代给出这些是相当新鲜的。

九、自由能源原理？

原理：减少电流，让水分子暴露在相反电压的区域，负电荷的氧原子被吸引到正电压处，这是物理学原理，异性相吸，正电荷的氢原子被吸引到负电压处，这样你就克服了理论困难。

在吸引带电水分子的过程中，你会导致水分子的扩张与分裂，适时的，关掉水分子的共价键，现在，你就可以从中获得氢和氧，这本质上是一个物理过程，并不是因为你使用了电子环路和场势能。

是电压调制的物理过程，先干电极相吸，所以，当你释放氢原子和氧原子时，你就可以对它们进行利用，利用氢原子的能量，氢的能量时燃油的2.5倍，你如何在不消耗大量电能的情况下实现它？

这是利用了VLC圈，这就是它发力的地点，我们创造了一个共振腔，由于自然的水是介电绝缘体。

十、发电机用永磁铁还是电磁铁？

小型发电机一般使用永磁体，而大型发电机使用电磁体。

不论是永磁体还是电磁体都是提供磁场的。

由于发电机发电强弱与磁场的強弱、线圈的匝数，转子的转动速度有关，在线圈的匝数，转子的转动速度一定的情况下，提供强磁场是主要的，因此，大型发电机以电磁体代替永磁体，以获得强磁场。

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